Das Problem ist leicht zu schildern. In einer Spielshow wie zum Beispiel „Geh‘ aufs Ganze“ hat der Kandidat die Auswahl zwischen drei Toren, Kisten, Briefumschlägen oder was auch immer. Ab sofort betrachte ich das Spiel um die Tore. Mit Kisten oder Umschlägen funktioniert das isomorph (also analog). Hinter einem der Tore befindet sich ein Gewinn, hinter allen anderen eine Niete. Bei „Geh‘ aufs Ganze“ war das der „Zonk“ und dieses Beispiel betrachte ich ab sofort.

Der Spieler weiß natürlich nicht, was sich hinter den drei Toren befindet. Er wählt erst einmal eines der Tore aus. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir die drei Tore Tor A,B und C nennen und davon ausgehen, dass sich der Kandidat für Tor A entscheidet. Daraufhin öffnet der Moderator, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, ein anderen Tor, hinter dem sich ein Zonk befindet.

Der Gewinn ist also hinter einem der noch nicht geöffneten Tore. Der Moderator gibt dem dem Kandidaten nun noch einmal die Möglichkeit, seine Entscheidung für Tor A zu revidieren. Daraus ergibt sich das Problem:

Soll der Kandidat bei Tor A bleiben oder sich für das andere verbliebene Tor entscheiden?

Mathematisch lässt sich natürlich nicht entscheiden, hinter welchem der verbliebenen Tore der Gewinn ist. Man kann jedoch die Wahrscheinlichkeit für jedes Tor berechnen. Aus Sicht der Mathematik ist es dann sinnvoll, sich für das Tor zu entscheiden, bei dem die Wahrscheinlichkeit, den Gewinn zu erwischen, am höchsten ist.

Intuitiv meinen viele Menschen, das sei egal. Es gäbe ja zwei verbliebene Tore und ohne die Information zu haben, hinter welchem der Gewinn steckt, müsse daher die Wahrscheinlichkeit bei jedem der Tore genau 1/2 betragen. Dann wäre es tatsächlich egal, wie man sich entscheidet.

Es gibt jedoch mindestens zwei Wege, zu zeigen, dass dem nicht so ist.

Zum einen wäre da die Fallunterscheidung. Die ist nicht sehr elegant, funktioniert aber immer, wenn die Anzahl der Fälle nicht zu groß ist und einem kein abstrakter Beweis einfällt. Insgesamt gibt es drei Fälle: Die drei möglichen Tore, hinter denen der Gewinn sein kann. Wir müssen voraussetzen, dass die Position des Gewinns nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde und daher die Wahrscheinlichkeit für jedes der Tore gleich ist. Daher müssen wir jetzt nur noch zählen, in wie vielen der drei Fälle ein Wechsel zum Gewinn führt. Wie oben erwähnt, wählt der Spieler auf jeden Fall Tor A.

Fall 1: Gewinn ist hinter A ==> Wechsel führt zum Zonk
Fall 2: Gewinn ist hinter B ==> Wechsel führt zum Gewinn
Fall 3: Gewinn ist hinter C ==> Wechsel führt zum Gewinn

In zwei der drei Fälle führt der Wechsel zum Gewinn. Der Spieler sollte also das Tor wechseln.

Die folgende Lösung finde ich jedoch eleganter: Wie oben erwähnt, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn hinter Tor A genau ein Drittel. Wenn der Moderator Tor B oder Tor C öffnet und wir vorher schon wissen, dass hinter dem geöffneten Tor ein Zonk ist, ändert sich durch das Öffnen natürlich nichts an der Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn hinter A. Sie bleibt bei einem Drittel und somit ist der Wechsel sinnvoll, da der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 hinter dem anderen Tor ist.

Man kann auch über den Erwartungswert argumentieren. Es gibt drei Tore und zwei Zonks. Somit hat jedes Tor einen Erwartungswert von 2/3 auf einen Zonk. Tor B und C zusammen also 4/3. Dann wird eines der beiden Tore geöffnet und zwar auf jeden Fall eines mit Zonk. Dadurch sinkt der verbliebene Erwartungswert auf den Zonk in diesen beiden Toren genau um 1, also von 4/3 auf 1/3. Ein Wechsel führt daher mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 zum Zonk und folglich mir 2/3 zum Gewinn. Man sollte also wechseln.

Dass es nicht egal ist, ob man wechselt, wird spätestens dann auch intuitiv klar, wenn man die Anzahl der Tore erhöht. Zumindest in der Theorie kann man das Problem auch mal mit einer Milliarde Tore betrachten. Denen geben wir die Nummern 1 bis 1000000000. Wieder soll nur hinter einem einzigen Tor der Gewinn sein. Von den 999999999 anderen Toren öffnet der Moderator alle bis auf eins und hinter jedem ist ein Zonk. Dann würde man sofort einsehen, dass es keine gute Idee wäre zu wechseln, denn das würde bedeuten, dass man beim ersten Raten schon zufällig aus einer Milliarde Toren genau das mit dem Gewinn erwischt hat. Falls man das jedoch nicht getan hat (also der Gewinn nicht hinter Tor 1 ist), muss der Gewinn in hinter einem der Tore 2 bis 1000000000 sein. Von jenen 999999999 Toren würden dann 999999998 einen Zonk enthalten und nur einer einen Gewinn. Wenn der Moderator dann aber 999999998 Tore öffnet (in der Theorie ist das möglich!), sind das folglich genau die mit dem Zonk und hinter dem verbliebenen liegt der Gewinn.

Statt mit Toren könnte man sich auch Telefonnummern denken. Stellen Sie sich vor, sie sind in Berlin und wollen einen Freund anrufen, der dort wohnt. Sie haben seine Nummer leider nicht im Kopf, aber wissen noch, dass sie sieben Stellen hat. Dafür gibt es genau neun Millionen Möglichkeiten, nämlich 1000000 bis 9999999. Sie haben aber einen weiteren Freund, der jene Nummer kennt. Den rufen Sie nun an und fragen ihn nach der Nummer. Der macht mit Ihnen ein Spiel. Zuerst sollen Sie einfach eine siebenstellige Nummer erraten und dann nennt er Ihnen eine weitere siebenstellige Nummer und verspricht, dass eine der beiden dann tatsächlich die ist, die Sie suchen. Sie raten zum Beispiel die Nummer 3434343. Er nennt ihnen dann die Nummer 7302640 (Achtung: Das ist nur ein Beispiel, bitte rufen Sie da nicht zu Testzwecken an!). Angenommen, Sie dürften nur einmal wählen. Welche Nummer würden Sie dann wählen? Die, die Sie selbst aus neun Millionen Möglichkeiten erraten haben oder die Nummer, die auf jeden Fall die Richtige ist, falls Sie falsch geraten haben?

Falls Sie das immer noch nicht überzeugt, kann ich gerne ein Beispiel mit noch viel mehr Möglichkeiten liefern. Angenommen, Sie wollen ein Band von „Harry Potter“ kaufen, aber leider ist der nicht mehr vorrätig. Also entschließen Sie sich, mit einem Zufallsgenerator, der Buchstaben, Ziffern, Leerzeichen und Satzzeichen ausspuckt, selbst ein Buch zu erstellen und dann auszudrucken. Ein Band von Harry Potter besteht aus so etwa 1,6 Millionen Zeichen. Nehmen wir mal an, das hier sind alle möglichen Zeichen:
a A b B c C d D e E f F g G h H i I j J k K l L m M n N o O p P q Q r R s S t T u U v V w W x X y Y z Z ß ä Ä ö Ö ü Ü 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 “ ! % ( ) ? . , ; : – ‚ plus das Leerzeichen
Das sind 82 mögliche Zeichen. Es gibt also 82^1600000 Möglichkeiten, 1,6 Millionen Zeichen nach dem Zufallsprinzip zu schreiben. Sie füllen nun also ein Textdokument mit 1,6 Millionen zufälligen Zeichen und drucken dann das Ergebnis aus, ohne es anzuschauen. Sie zeigen einem Freund das Buch und der macht ihnen ein Angebot: Er wird morgen noch einmal vorbei kommen und ein weiteres Buch dabei haben. Er verspricht, entweder sein Buch oder ihres wird tatsächlich der Band von Harry Potter sein. Sie müssen sich aber zwischen beiden Büchern entscheiden, ohne sie angeschaut zu haben. Welches wählen Sie? Das Buch ihres Freundes oder ihre Zufallskreation?

Egal, ob es neun Millionen, eine Milliarde, 82^1600000 oder eben nur drei Möglichkeiten gibt, bleibt das Prinzip immer das selbe. In allen Fällen lohnt es sich, zu wechseln.

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