Es gibt jede Menge faszinierende Gedankenspiele mit der Unendlichkeit. Einige davon werde ich auch im Blog vorstellen. Dafür habe ich extra eine Kategorie geschaffen. Ein Informatiker hat mir aber ein Gedankenspiel erklärt, das zeigt, wie unvorstellbar groß endliche Mengen sein können.

Das Beispiel stammt aus der digitalen Photographie. Vor vielen Jahren gab es mal ein Bildformat namens „Bitmap“. Das Format gibt es natürlich immer noch, aber es wird kaum noch benutzt. Im Gegensatz zu komprimierten Bildformaten wie JPEG wird bei einem Bitmap der exakte Farbwert jedes einzelnen Pixel im sogenannten „Pixel Array“ gespeichert. Angefangen mit dem Pixel oben links bis hin zum Pixel unten rechts. Jeder dieser Pixel wird durch 24 Binärziffern im Pixel Array definiert. Von 000000000000000000000000 (Schwarz) bis 111111111111111111111111 (Weiß) sind 16.777.216 Farben möglich. Das sind quasi alle Farben, die das menschliche Auge wahrnehmen kann, denn noch mehr Farben können unsere Augen nicht unterscheiden.

Nun betrachte man ein komplett schwarzes Bitmap, das exakt so groß ist, dass es einen Computerbildschirm genau ausfüllt. Der Bildschirm meines Notebooks hat eine Auflösung von 1920*1080 Pixeln und dieses Beispiel betrachte jetzt einmal. Es funktioniert aber für jede beliebige Bildschirmauflösung. Das Pixel Array enthält für jeden der 2.073.600 Pixel 24 Nullen, die den Farbwert jenes Pixels bestimmen. Dieses Bitmap soll eine Sekunde lang auf den Bildschirm angezeigt werden. Danach wird der Farbwert des letzten Pixels (rechts unten) von 000000000000000000000000 auf 0000000000000000000000001 erhöht und das neue Bitmap ebenfalls für eine Sekunde auf dem Bildschirm angezeigt. Dann wird der Farbwert des letzten Pixels wieder um 1 erhöht, also auf 000000000000000000000010, das Bitmap wieder für eine Sekunde angezeigt und immer so weiter. Auf diese Weise durchläuft der letzte Pixel alle 16.777.216 Farben, bis er schließlich bei 111111111111111111111111 angekommen ist und folglich weiß ist. Im nächsten Schritt wird der letzte Pixel wieder schwarz und der vorletzte Pixel bekommt die Farbe 000000000000000000000001. Erneut durchläuft der letzte Pixel alle Farben und wenn er weiß ist, wird der Farbwert des vorletzten Pixels erneut um 1 erhöht und der letzte Pixel wird wieder schwarz. Wenn die beiden letzten Pixel weiß sind, wird der Farbwert des drittletzten Pixels im nächsten Schritt um 1 erhöht und die beiden letzten Pixel werden wieder schwarz. Nach dem Prinzip wird auch mit allen anderen Pixeln verfahren. Immer, wenn die letzten n Pixel weiß sind, werden sie im nächsten Schritt wieder schwarz und der Farbwert des (n+1)-letzten Pixels wird um 1 erhöht. Da es endlich viele Pixel gibt (in unserem Beispiel 1920*1080), führt dieses System zwangsläufig dazu, dass irgendwann alle Pixel weiß sind.

Wir haben also mit einem komplett schwarzem Bildschirm begonnen und am Ende ist er komplett weiß. Spektakulär ist, was dazwischen passiert. Zwischen dem schwarzen und dem weißen Bildschirm treten nämlich alle Farbkombinationen auf, die überhaupt möglich sind. Jedes denkbare Bitmap mit der Auflösung 1920*1080 war in der Zwischenzeit für eine Sekunde auf dem Bildschirm zu sehen. Jedes! Wirklich jedes! Auch Photos von [beliebigen Namen einfügen] beim Geschlechtsakt mit [weiteren beliebigen Namen einfügen]. Nicht nur ein Photo, sondern alle erdenklichen. In allen Stellungen aus allen Blickwinkeln. Auch eine Karte, die zeigt, wo das Bernsteinzimmer tatsächlich versteckt ist. Auch ein Photo vom Berlin im Jahr 3000. Die gruseligsten Bilder von Folter und Morden. Alles, was überhaupt theoretisch auf dem Bildschirm darstellbar ist, wird auch irgendwann tatsächlich einmal angezeigt und dafür sind tatsächlich nicht unendlich viele Schritte nötig und somit auch nicht unendlich viel Zeit. Endlich viele Schritte und somit ein endlich langer Zeitraum reichen aus.

In der Praxis dauert es allerdings eine Weile, vom schwarzen Bildschirm zum weißen Bildschirm zu gelangen. Bis der letzte Pixel einmal alle 16.777.216 Farben durchlaufen hat, sind schließlich schon 16.777.216 Sekunden vergangen. Das sind schon mehr als 194 Tage. Bis die letzten beiden Pixel alle Farben durchlaufen haben, sind schon 16.777.216*16.777.216 vergangen, also gut 8,9 Millionen Jahre und auch die Zeit vom Urknall bis heute reicht nicht aus, um die letzten drei Pixel alle Farben durchlaufen zu lassen. Das ändert aber nichts daran, dass irgendwann jedes denkbare Bild einmal erscheint.

Das sollte aber kein Grund zur Beunruhigung sein. Diese Bilder enthalten zwar alle Wahrheiten der Welt, allerdings auch alle Unwahrheiten. Viele Bilder zeigen, wie wir nackt aussehen, viel mehr Bild aber, wie mir nackt NICHT aussehen. Man kann das vergleichen mit einer Liste von 10.000 möglichen PIN-Nummern von 0000 bis 9999. Diese Liste enthält dann natürlich sämtliche PINS sämtlicher Bankkunden und Handybesitzer. Dennoch hat sie keinerlei Informationsgehalt und jemand, der sie in die Hände kriegt (oder sie selber erstellt), wird damit nichts anfangen können. Mit den Bildern verhält es sich glücklicherweise genauso. Selbst wer sich alle diese Bild anschauen und merken könnte, wäre davon immer noch nicht schlauer als vorher.

bitmapzeigt